如图，是的外接圆，直径与交于点E，过点D作的切线，与的延长线交于点F．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，直径 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，过点D作 $\text{[math]}$ 的切线，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 圆周角定理; 切线的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，且 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F．

(1) 如图①，若E为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 如图②，过点E作 $\text{[math]}$ 的切线，分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交于点G，H，若 $\text{[math]}$ 的半径为6， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们给出如下定义：对于两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，平面直角坐标系中存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”．例如：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”．

(1) 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．下列是线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”的有；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

(2) 如图2，已知直线 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若x轴上存在线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”，求m的取值范围；

(3) 如图3，二次函数 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、B两点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方一点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题普通

3. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （a，b为常数， $\text{[math]}$ ）与y轴交于点C，点P为二次函数图象上一动点，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ （t为常数）作直线l垂直于y轴．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与直线l交于A、B两点．

①填空：当点P与点C重合时，点M的坐标为， t的取值范围为；

②是否存在实数t，使 $\text{[math]}$ 的长为定值，若存在，求出t的值，若不存在请说明理由；

(2) 若不论P如何运动， $\text{[math]}$ 与直线l始终相切，当 $\text{[math]}$ 时，求b的值．

解答题普通