如图：

1. 如图：

(1) （1）基本模型：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(2) 模型应用： $\text{[math]}$ 为等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 延长线交于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 拓展应用：在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转得到线段 $\text{[math]}$ ；线段 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 到线段 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 的长度，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，相交于点G，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，设 $\text{[math]}$ ．

【变中不变】

（1）明明发现：连接 $\text{[math]}$ ，当点E的位置在 $\text{[math]}$ 上发生变化时， $\text{[math]}$ 的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．

∵ $\text{[math]}$ ，且①_______；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ 即： $\text{[math]}$ ；

又∵ $\text{[math]}$ ；

∴②_______；

∴ $\text{[math]}$ ；

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ③_______°，即 $\text{[math]}$ 度数不变．

【尝试应用】

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【思维拓展】

（3）将 $\text{[math]}$ 绕着点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的x，使得 $\text{[math]}$ 有顶点落在直线 $\text{[math]}$ 上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．

解答题困难

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．