在中，，．点是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 【观察猜想】

如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是___________，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角的度数是___________；

(2) 【类比探究】

如图2，当 $\text{[math]}$ 时，请写出 $\text{[math]}$ 的值及直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

(3) 【解决问题】

当 $\text{[math]}$ 时，若点E，F分别是 $\text{[math]}$ 的中点，点P在直线 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ ，且点C，P，D在同一直线上时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等边三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【知讯回原】

已知 $\text{[math]}$ 的面积为1．如图1，分别将 $\text{[math]}$ 边2等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边 $\text{[math]}$ ．

（1）则 $\text{[math]}$ 的面积=　　； $\text{[math]}$ =　　．

（2）四边形 $\text{[math]}$ 的面积=　　．

【拓展探究】

（3）如图2，分别将 $\text{[math]}$ 边3等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边形 $\text{[math]}$ ，其面积=　　；

如图3，分别将 $\text{[math]}$ 边4等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边形 $\text{[math]}$ ，其面积=　　；

按照这个规律进行下去，若分别将 $\text{[math]}$ 边n等分，…，得到四边形 $\text{[math]}$ ，其面积=　　；

【知识运用】

（4）如图4， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积=　　．

实践探究题普通

2. 综合与探究

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+ $\text{[math]}$ x+3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点A坐标为（﹣1，0）．直线l为该抛物线的对称轴，且交直线BC于点D．抛物线上有一动点P，且横坐标为m（4＜m＜9），连接PD，过点P作PE⊥l于点E．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．

（2）当△DEP与△BOC相似时，求m的值；

（3）如图2，点M为直线BC上一动点，是否存在点P，使得以点A，C，P．M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理由．

实践探究题困难

3. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上 $\text{[math]}$ ，且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置 $\text{[math]}$ ，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点 $\text{[math]}$ ，射线OH与射线AD相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），射线OG与射线BC相交于点 $\text{[math]}$ （点Q，C不重合），观测DP，CQ的长度.

(1) 如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ=.

(2) 小丽滑动矩形EFGH，使得О恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立.请说明理由.

(3) 经过数次操作，小丽猜想，设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.

实践探究题困难