已知抛物线：交轴于点A，B，交轴于点C．

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1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点A，B，交 $\text{[math]}$ 轴于点C．

(1) 如图1，当点A坐标为 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

(2) 在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 将四边形 $\text{[math]}$ 平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点F，H在 $\text{[math]}$ 轴上，且点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，将抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向下平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到新的抛物线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 三边恰有四个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值以及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 将原抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是新抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折到同一平面内得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当∠ $\text{[math]}$ 时，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，并写出求解其中一个坐标的过程．

解答题困难

2. 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点B，点C为抛物线顶点．

(1) 求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在x轴上方的抛物线上，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 点D是点B关于对称轴的对称点，平移原抛物线，设新抛物线的顶点为点M，点M始终在射线 $\text{[math]}$ 上，过点D作 $\text{[math]}$ 轴交x轴于点E，若新抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，当新抛物线与线段 $\text{[math]}$ 有交点时，直接写出m的取值范围：________________________．

解答题普通

3. 在平面直角坐标系中，若点 $\text{[math]}$ 的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点 $\text{[math]}$ 为“相反点”，如点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“相反点”．

(1) 小清认为所有的“相反点”都在同一条直线 $\text{[math]}$ 上，请直接写出直线 $\text{[math]}$ 的解析式：．

(2) 小芳在研究抛物线 $\text{[math]}$ 时，发现它的图像上有且只有一个“相反点” $\text{[math]}$ ．请你帮她求出 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 在（2）的条件下将抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移 $\text{[math]}$ 个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 上有两个“相反点”分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）．

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差．

解答题困难