将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点．

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1. 将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的大小和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，纸片折叠后与矩形 $\text{[math]}$ 的重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．

①如图②，若折叠后与矩形 $\text{[math]}$ 的重叠部分是四边形时， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的长，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

【考点】

含30°角的直角三角形; 矩形的性质; 解直角三角形; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

解答题普通

2. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BE⊥AC于E，sin∠EBC= $\text{[math]}$ ，求矩形ABCD的面积．

解答题普通

3. 抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于抛物线对称轴的对称点， $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，它的横坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难