综合与实践【生成概念】抛物线与轴交于点，若抛物线上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“兄弟抛物线”．

1. 综合与实践

【生成概念】抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 上的点和抛物线 $\text{[math]}$ 上的点关于点 $\text{[math]}$ 中心对称，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“兄弟抛物线”．

(1) 【感知特例】已知拋物线 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的“兄弟抛物线” $\text{[math]}$ 的解析式，并画出拋物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

(2) 【代数推理】通过代数推理证明抛物线 $\text{[math]}$ 图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．

运用代数推理证明：抛物线 $\text{[math]}$ 的图象是轴对称图形，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．

证明：在拋物线 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 也在抛物线 $\text{[math]}$ 的图象上，

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点，它关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点 $\text{[math]}$ 都在抛物线L：3 $\text{[math]}$ 的图象上，

$\text{[math]}$ 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象是轴对称图形，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．

仿照上述方法，运用代数推理证明：拋物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“兄弟拋物线” $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 中心对称．

(3) 【拓展延伸】智慧小组发现抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“兄弟抛物线” $\text{[math]}$ ”这两抛物线的顶点所连直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 有一定的关系，请你求出直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴夹角 $\text{[math]}$ 的正切值 $\text{[math]}$ （可用m、n表示）.

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数图象上点的坐标特征; 中心对称的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于点E．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 求线段 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．

实践探究题困难