如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.

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1. 如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 的中点，以D为角的顶点作 $\text{[math]}$ .如图1，射线 $\text{[math]}$ 经过点A ， $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E.

(1) 不添加辅助线，请直接写出图1中所有与 $\text{[math]}$ 相似的三角形；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E ， F.

①求证： $\text{[math]}$ ；

②如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上有一点P ，且 $\text{[math]}$ ，若点P始终在 $\text{[math]}$ 内（包括边界上），求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

③若 $\text{[math]}$ ，直接写出旋转角为多少度时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似.

解答题困难

2. 如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．

解答题普通

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DBC=45°，∠ABC=67.5°，BD=24.72m，求AC的长.（最后结果精确到0.1m，参考数据：sin45°≈0.707，sin67.5°≈0.923，cos45°≈0.707，cos67.5°≈0.382，tan67.5°≈2.414）

解答题普通