综合与实践如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H.点Р是线段CF的一点，且CP=FP.

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1. 综合与实践

如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H.点Р是线段CF的一点，且CP=FP.

(1) 探究发现：点点发现结论：ABCG丝△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并

说明理由.

(2) 深入探究：老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答.

①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，AE=2，ED=4，求FG的长.

②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF=∠EFB，AB=4，AD=6，求tan∠HBF的值.

【考点】

三角形全等的判定; 平行四边形的判定与性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 求正切值;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题原型】数学老师给学生布置了下面这个问题：

如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中，点D为边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转60°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

(1) 【问题解决】小明的想法：连接 $\text{[math]}$ ，利用三角形全等证明线段相等.

小亮的想法：在边 $\text{[math]}$ 上取点F，使 $\text{[math]}$ ，利用三角形全等证明线段相等.

在小明或小亮两人的方法中选择一种解决问题原型中的问题.

(2) 【类比应用】如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转90°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .判断线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

(3) 【拓展延伸】如图③，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转90°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

实践探究题普通

(1) [感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB中点，易知OA=OB=OC，则点A、B、C在以AB为直径的⊙O上．

[应用]如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：四边形ABCD有外接圆．

(2) [拓展]如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD=4，∠BCD=75°，

连结BD，则∠ABD的度数为，BD的长度为

(3) 如图④，连结AC，将△ABC沿AC翻折得△AEC，连结DE，则∠AED的度数为．DE的长度为

实践探究题普通

3. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“双等腰四边形”。

(1) 如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，E是BD的中点，连结AE，CE.

①试判断四边形ABCE是否为“双等腰四边形”，并说明理由.

②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数.

(2) 如图②，E是矩形ABCD内一点，F是边CD上一点，四边形AEFD是“双等腰四边形”，且AD=DE.延长AE交BC于点G，连结FG.若AD=5， $\text{[math]}$ 求AB的长。

实践探究题困难