如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，．

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1. 如图1，如图点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，一副直角三角板的直角顶点与点 $\text{[math]}$ 重合，直角边 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．

(1) 将图1中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为______；

(2) 将图1中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿顺时针方向按每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转一周，三角板 $\text{[math]}$ 不动，请问几秒后 $\text{[math]}$ 所在的直线平分 $\text{[math]}$ ？

(3) 将图1中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向按每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转两周，同时三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向按每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转（随三角板 $\text{[math]}$ 停止而停止），请直接写出几秒后 $\text{[math]}$ 所在的直线平分 $\text{[math]}$ ？

【考点】

角的运算; 角平分线的性质; 一元一次方程的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题困难

1. 定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．

如图为一量角器的平面示意图， $\text{[math]}$ 为量角器的中心．作射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并将其所对应的量角器刻度分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为“共生三线”，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线．

①　如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

②　当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ______；

③　当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ______；

④　根据以上经验，得 $\text{[math]}$ ______（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(2) 如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 刻度线所在直线上方区域内，将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按逆时针方向绕点 $\text{[math]}$ 同时旋转，旋转速度分别为每秒 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三条射线先后到达 $\text{[math]}$ 刻度线，其中先到达 $\text{[math]}$ 刻度线的两条直线在到达 $\text{[math]}$ 刻度线后立即向反方向原速返回，第三条射线到达180°刻度线时旋转停止，在这个运动过程中，若旋转 $\text{[math]}$ 秒后得到的射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为“共生三线”，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 【知识技能】

（1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为_______；

【数学理解】

（2）如2图，三角尺 $\text{[math]}$ 固定不动，将三角尺 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线 $\text{[math]}$ 的上方．设三角尺 $\text{[math]}$ 的旋转时间为 $\text{[math]}$ 秒，在旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求出时间 $\text{[math]}$ 的值；

【深入探究】

（3）如3图，若三角尺 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺 $\text{[math]}$ 同时也绕着点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线 $\text{[math]}$ 的上方．当三角尺 $\text{[math]}$ 停止旋转时，三角尺 $\text{[math]}$ 也停止旋转．设三角尺 $\text{[math]}$ 的旋转时间为 $\text{[math]}$ 秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通

3. 【阅读材料】

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的思想方法．

如图1，数轴上的点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 填空：点 $\text{[math]}$ 表示的数是___________；

(2) 若动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两动点同时停止运动，设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

①点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示的数分别为__________，___________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

②在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点运动的过程中，若 $\text{[math]}$ ，求运动时间 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【类比迁移】

我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样，如图2，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时旋转，当射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 时，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时停止旋转．设旋转时间为 $\text{[math]}$ 秒，在旋转过程中，存在某一时刻，使得 $\text{[math]}$ ，求旋转时间 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通