【知识技能】（1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______；【数学理解】（2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值；【深入探究】（3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

1. 如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

解答题容易

2. 已知：如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB， $\text{[math]}$ ，求：∠EOC的度数．

解答题容易

【阅读理解】

定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位于直线l同侧，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ，所以我们称射线 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （或射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的“双倍和谐线”．

【迁移运用】

（1）如图1，射线 $\text{[math]}$ 　　（选填“是”或“不是”）射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“双倍和谐线”；射线 $\text{[math]}$ 　　（选填“是”或“不是”）射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“双倍和谐线”；

（2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点O在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，运动时间为t秒．

①当射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时，运动停止．若射线 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“三倍和谐线”时，求t的值；

②当射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时，运动停止．若在射线 $\text{[math]}$ 旋转的同时，

$\text{[math]}$ 绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．当射线 $\text{[math]}$ 位于射线 $\text{[math]}$ 左侧且射线 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“三倍和谐线”时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

1. 定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．

如图为一量角器的平面示意图， $\text{[math]}$ 为量角器的中心．作射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并将其所对应的量角器刻度分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为“共生三线”，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线．

①　如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

②　当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ______；

③　当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ______；

④　根据以上经验，得 $\text{[math]}$ ______（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(2) 如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 刻度线所在直线上方区域内，将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按逆时针方向绕点 $\text{[math]}$ 同时旋转，旋转速度分别为每秒 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三条射线先后到达 $\text{[math]}$ 刻度线，其中先到达 $\text{[math]}$ 刻度线的两条直线在到达 $\text{[math]}$ 刻度线后立即向反方向原速返回，第三条射线到达180°刻度线时旋转停止，在这个运动过程中，若旋转 $\text{[math]}$ 秒后得到的射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为“共生三线”，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图1，如图点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，一副直角三角板的直角顶点与点 $\text{[math]}$ 重合，直角边 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．

(1) 将图1中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为______；

(2) 将图1中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿顺时针方向按每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转一周，三角板 $\text{[math]}$ 不动，请问几秒后 $\text{[math]}$ 所在的直线平分 $\text{[math]}$ ？

(3) 将图1中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向按每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转两周，同时三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向按每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转（随三角板 $\text{[math]}$ 停止而停止），请直接写出几秒后 $\text{[math]}$ 所在的直线平分 $\text{[math]}$ ？

解答题困难

3. 【阅读材料】

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的思想方法．

如图1，数轴上的点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 填空：点 $\text{[math]}$ 表示的数是___________；

(2) 若动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两动点同时停止运动，设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

①点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示的数分别为__________，___________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

②在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点运动的过程中，若 $\text{[math]}$ ，求运动时间 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【类比迁移】

我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样，如图2，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时旋转，当射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 时，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时停止旋转．设旋转时间为 $\text{[math]}$ 秒，在旋转过程中，存在某一时刻，使得 $\text{[math]}$ ，求旋转时间 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

1. 如图，点O在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 如图1，O为直线 $\text{[math]}$ 上一点，作射线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上．将图1中的三角尺绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：

（1）当旋转10秒时，则 $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ ；

（2）第t秒时， $\text{[math]}$ 所在直线恰好平分 $\text{[math]}$ ，则t的值为．

填空题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内部一条射线，且 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数为．

填空题普通

1. 已知：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，若射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕点 $\text{[math]}$ 以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕点 $\text{[math]}$ 以每秒旋转 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转；其中射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 后立即改变运动方向，以相同速度绕 $\text{[math]}$ 点顺时针旋转，当射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 时，射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时停止运动，设旋转的时间为 $\text{[math]}$ 秒，当 $\text{[math]}$ 时，试求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，若射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕 $\text{[math]}$ 点逆时针旋转一周，作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，试求在运动过程中， $\text{[math]}$ 的度数是多少？（请直接写出结果）

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从 $\text{[math]}$ 位置出发，射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从 $\text{[math]}$ 位置出发，设两条射线同时绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．

①当三条射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成的三个度数大于 $\text{[math]}$ 的角中，有两个角相等，求此时 $\text{[math]}$ 的值；

②在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 转动过程中，射线 $\text{[math]}$ 始终在 $\text{[math]}$ 内部，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点O．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题普通