在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且.

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1. 在 $\text{[math]}$ 中，连接对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

三角形的面积; 等腰三角形的判定与性质; 等边三角形的性质; 平行四边形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在等边 $\text{[math]}$ 中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．

(1) 当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求∠BDE的度数．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时，如图 $\text{[math]}$ 所示，此时点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，则线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有何关系，说明理由；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在内部时，如图 $\text{[math]}$ 所示，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证：
$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 、四边形 $\text{[math]}$ 都是平行四边形；
$\text{[math]}$ ．

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在外部时，如图 $\text{[math]}$ 所示， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．

综合题困难

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将纸片沿对角线 $\text{[math]}$ 对折， $\text{[math]}$ 边与 $\text{[math]}$ 边交于点E，此时， $\text{[math]}$ 恰为等边三角形．

(1) 猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明你的结论；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，请说明四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；

综合题普通