如图，在四边形ABCD中，， O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．

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1. 如图，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．

(1) 求证：四边形ANCM为平行四边形；

(2) 当MN平分∠AMC时，

①求证：四边形ANCM为菱形；

②当四边形ABCD是矩形时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DM的长．

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定; 菱形的判定; 矩形的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作直线分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，

①试说明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

②当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ ．

(1) 求C点的坐标；

(2) 把矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点分别为D、F、E，求折痕 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通