如图，是边长为4的正方形的一条对角线，点为线段上一个动点（点不与点重合），连接交于点，作的外接圆，交于点，交于点．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 是边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 的一条对角线，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一个动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的半径和 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图②，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动的过程中， $\text{[math]}$ 是否为定值，若为定值请求出此定值，若不为定值，请说明理由．

【考点】

圆周角定理; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 切半圆于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，交半圆于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图2，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求y关于x的函数表达式；

(3) 延长 $\text{[math]}$ 交半圆O于点Q，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图1， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 切半圆于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，交半圆于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求： $\text{[math]}$ 的值

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求： $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式及其定义域

②延长 $\text{[math]}$ 交半圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 的值最大时，并求出最大值

解答题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ．

解答题困难