如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连结，以为邻边作．点P的运动时间为t秒．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线 $\text{[math]}$ 运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作 $\text{[math]}$ 于点N，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ ．点P的运动时间为t秒．

(1) ① $\text{[math]}$ 的长为________；

② $\text{[math]}$ 的长用含t的代数式表示为________．

(2) 当 $\text{[math]}$ 为矩形时，求t的值；

(3) 连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边平行时，t的值为________．

(4) 取 $\text{[math]}$ 的中点E，当点E到 $\text{[math]}$ 两边距离相等时，直接写出t的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 已知：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为边AD上一点（且不与A、D两点重合），联结BF交AC于点E，射线BF与射线CD交于点G，设AF＝x，S_△_EGC＝y．

（1）当BF⊥AC时，求AF的长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）过点D作DH⊥BG，垂足为点H，当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 时，求S_△_EGC的值

解答题普通

2. 如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小.请根据以上信息，回答下列问题：

(1) 将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；

(2) 小明发现：设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，根据（1）中的结论可以求出当x=时， $\text{[math]}$ 的值最小，且最小值为；

(3) 结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值；

① $\text{[math]}$ 的最小值；

② $\text{[math]}$ 的最小值为.

解答题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点重合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 最短时， $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通