如图，在中，，，点在边上运动不与、两点重合，，．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点重合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 最短时， $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小.请根据以上信息，回答下列问题：

(1) 将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；

(2) 小明发现：设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，根据（1）中的结论可以求出当x=时， $\text{[math]}$ 的值最小，且最小值为；

(3) 结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值；

① $\text{[math]}$ 的最小值；

② $\text{[math]}$ 的最小值为.

解答题困难

2. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 边上的一点， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边 $\text{[math]}$ 向终点B运动，连接 $\text{[math]}$ ，设点P运动的时间为t秒．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求t的值．

解答题普通

3. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（ $\text{[math]}$ 尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即 $\text{[math]}$ 尺），秋千的踏板离地面的距离与人一样高，这个人的身高为五尺（ $\text{[math]}$ 尺），求这个秋千的绳索 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通