问题背景：和都是等腰直角三角形，．

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1. 问题背景： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．

(1) 问题探究：连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点为F．

①如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是（填“相等”或“不相等”）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是（填“平行”或“垂直”）；

②如图2，M、N分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 问题拓展：当等腰直角 $\text{[math]}$ 旋转到如图3位置，连接 $\text{[math]}$ ，点H为 $\text{[math]}$ 中点，当B、C、D三点共线时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的性质; 平行四边形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 分类讨论;

【答案】

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实践探究题困难

1. 两个等腰三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 所在的直线上 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 问题一：当 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上移动时，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由；

(2) 问题二：当 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 还在线段 $\text{[math]}$ 上移动，此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由；

随着探究的深入，得出一些基本的结论：当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上移动，所处的位置不同， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可能的数量关系是什么？ $\text{[math]}$ 直接写出数量关系即可 $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

2. 如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．

实践探究题普通

3. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容．

平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

我们可以用演绎推理证明这一结论．

已知：如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，AB $\text{[math]}$ CD且 $\text{[math]}$ ．

求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

证明：连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．

(2) 【知识应用】如图①，在 $\text{[math]}$ 中，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(3) 【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为7，直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

实践探究题普通