如图，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是中点，连接，．

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1. 如图 $\text{[math]}$ ，把一个含 $\text{[math]}$ 的直角三角板 $\text{[math]}$ 和一个正方形 $\text{[math]}$ 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 $\text{[math]}$ 重合，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形的边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的数量关系是________； $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的位置关系是________；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，将图 $\text{[math]}$ 中直角三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，其他条件不变，（ $\text{[math]}$ ）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，将图 $\text{[math]}$ 中直角三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，其他条件不变，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

三角形全等及其性质; 正方形的性质; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形的中位线定理;

【答案】

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证明题困难

1. 如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE．

(1) DE与BC的位置关系为　　；

(2) 如图②，连接CD，BE，若M为BE的中点，连接AM，请探究线段AM与CD的关系，并给予证明；

(3) 如图③，已知E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，M为BG的中点，连接AM．

①若AB＝4，BE＝3，求AM的长；

②若AB＝a，BE＝b，则AM的长为　　．（用含a，b的代数式表示）

证明题困难

2. 如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的角平分线，AE分别交BD、BC于点F、E，AC与BD交于点O，求证：OF= $\text{[math]}$ CE．

证明题普通

3. （1）如图1，已知正方形 $\text{[math]}$ ，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，当直角的一边与 $\text{[math]}$ 相交于点E，另一边与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F时，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，将图1中的直角改为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的一边与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点E，另一边与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请加以证明．

证明题普通