（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式，例如：的有理化因式是，的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．【知识运用】

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1. （1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式，例如： $\text{[math]}$ 的有理化因式是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的有理化因式是 $\text{[math]}$ ．

（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．

【知识运用】

(1) 填空： $\text{[math]}$ 的有理化因式是______ ； $\text{[math]}$ 的有理化因式是______； $\text{[math]}$ 的有理化因式是______．

(2) 把下列各式的分母有理化：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

【考点】

分母有理化; 二次根式的混合运算;

【答案】

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解答题普通

1. 阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如： $\text{[math]}$

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小．可以先将它们分子有理化．如下： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

再例如：求 $\text{[math]}$ 的最大值．做法如下：

解：由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可知 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时，分母 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．

解决下述问题：

（1）比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题普通

2. 阅读下面的材料，解答后面提出的问题：

黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．