建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请回答下列问题：

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1. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 均为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以AC的中点 $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系．

请回答下列问题：

(1) 如图2，求 $\text{[math]}$ 所在图象的函数表达式．

(2) 如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架 $\text{[math]}$ ，并加装了始终垂直于 $\text{[math]}$ 的伸缩机械臂 $\text{[math]}$ 用来雕刻 $\text{[math]}$ 所在曲面的花纹，请问点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上滑动过程中， $\text{[math]}$ 最长为多少米？

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 待定系数法求反比例函数解析式; 反比例函数与一次函数的交点问题; 反比例函数的实际应用;

【答案】

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综合题普通

1. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，请求出y关于x的函数解析式；

(2) 数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．

综合题普通

2. 教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（ $\text{[math]}$ ）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（ $\text{[math]}$ ）之间的关系如图所示，回答下列问题：

(1) 分别求出当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时，y和x之间的函数关系式；

(2) 求出图中a的值；

(3) 李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？

综合题普通

3. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数与一次函数关系式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 点坐标；

(3) 在（2）的条件下，在 $\text{[math]}$ 轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

综合题困难