如图，已知等腰中，，，，点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．

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1. 如图，已知等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，

①按要求画出图形，

②求出 $\text{[math]}$ 的度数，

③探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的倍数关系并加以证明；

(2) 在直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转的过程中（ $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，利用备用图直接求出 $\text{[math]}$ 的值为___________．

【考点】

三角形内角和定理; 线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质; 轴对称的性质;

【答案】

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作图题困难

1. （1）操作实践： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，请画出一条直线把 $\text{[math]}$ 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数； $\text{[math]}$ 要求用两种不同的分割方法 $\text{[math]}$

（2）分类探究： $\text{[math]}$ 中，最小内角 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出 $\text{[math]}$ 最大内角的所有可能值； $\text{[math]}$ 以下为备用图 $\text{[math]}$

（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？ $\text{[math]}$ 请你至少写出两种不同情况的条件，无需证明 $\text{[math]}$

作图题普通

2. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．

(1) 如图2，△ABC中，∠B=2∠C ，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D ，交BC于点E ．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．

(2) 如图3，在△ABC中，∠A=120° ， ∠B=20° ， ∠C=40° ，请你完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数．

(3) 在△ABC中，BD为△ABC的等腰分割线，且AD=BD ， ∠C=30° ，请你画出所有可能的图形并求出∠A的度数．

作图题普通

3. 小宇遇到了这样一个问题：

已知：如图， $\text{[math]}$ ，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足 $\text{[math]}$ ．

求作：线段OB上的一点C，使 $\text{[math]}$ 的周长等于线段 $\text{[math]}$ 的长．

以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即 $\text{[math]}$ 得周长等于OB的长，那么由 $\text{[math]}$ ，可以得到 $\text{[math]}$ ．

对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得 $\text{[math]}$ ，那么就可以得到 $\text{[math]}$ ．

若连接AD，由．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．

请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．

作图题普通