如图，抛物线与x轴交于点和点B ，与y轴交于点，其顶点为D ．

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，其顶点为D ．

(1) 求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2) 在y轴上是否存在一点M ，使得 $\text{[math]}$ 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 若点E在以点 $\text{[math]}$ 为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE ，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF ，连结BF ．求BF的取值范围．

【考点】

轴对称的应用-最短距离问题; 二次函数-动态几何问题; 二次函数-线段周长问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴左交点为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，在抛物线的对称轴上求一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 的周长最小；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方时，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值；

(3) 若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 $\text{[math]}$ 时，求出在抛物线和直线 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=﹣ $\text{[math]}$ x² $\text{[math]}$ x与x轴交于O，A，点B在抛物线上且横坐标为2．

(1) 如图1，△AOB的面积是多少？

(2) 如图1，在线段AB上方的抛物线上有一点K，当△ABK的面积最大时，求点K的坐标及△ABK的面积；

(3) 在（2）的条件下，点H 在y轴上运动，点I在x轴上运动．则当四边形BHIK周长最小时，求出H、I的坐标以及四边形BHIK周长的最小值．

综合题困难

(1) 如图1，在AB直线一侧有C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由：

(2) 如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由：

(3) 如图3，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F， M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由.

综合题困难