如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E．

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1. 如图①，正方形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点P是线段 $\text{[math]}$ 上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E．

(1) 尺规作图：在图①中，过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图②，若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为6，过E作 $\text{[math]}$ 于点F，在P点运动的过程中， $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

(3) 如图③，直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 正方形的性质; 四边形-动点问题;

【答案】

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证明题困难

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上方作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 补全图形；

(2) 用等式表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，若正方形边长为5， $\text{[math]}$ 直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

证明题困难

2. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，两条对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 的顶点移到 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，仍满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线一点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线上一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

证明题困难

3. 在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作 $\text{[math]}$ 于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．

(1) 如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合），

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点P在线段CB的延长线上时（ $\text{[math]}$ ），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．

证明题普通