我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点、满足，则称A、B互为“冲刺点”，若函数y上存在一组冲刺点，则称函数y为“冲刺函数”．

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1. 我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称A、B互为“冲刺点”，若函数y上存在一组冲刺点，则称函数y为“冲刺函数”．

(1) 判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“√”，错的打“×”．

① $\text{[math]}$ （　　　）；

② $\text{[math]}$ （　　　）；

③ $\text{[math]}$ （　　　）；

(2) 是否存在A、B两点既是一次函数 $\text{[math]}$ 上的“冲刺点”，又是二次函数 $\text{[math]}$ 上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由．

(3) 若“冲刺函数” $\text{[math]}$ 上的“冲刺点”为A、B两点，若P为函数 $\text{[math]}$ 上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足 $\text{[math]}$ 的面积为1，若以A、B为顶点的正方形边长为1，求c值．

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ．

(1) 点 $\text{[math]}$ 的坐标是，点 $\text{[math]}$ 的坐标是；

(2) 求抛物线的解析式；

(3) 在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上有一个点 $\text{[math]}$ ，求这个四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并写出点 $\text{[math]}$ 坐标；

(4) 在 $\text{[math]}$ 轴上有一个动点 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到线段 $\text{[math]}$ 当线段 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

2. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点B ，与y轴相交于C ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过两点B ， C ，与x轴另一交点为A ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，过点C作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于另一点D ，点E以每秒1个单位长度的速度在线段 $\text{[math]}$ 上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点F ，作 $\text{[math]}$ 于点H ，交y轴右侧的抛物线于点G ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求t的值；

(3) 如图2，正方形 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 在x轴上，点Q与点B重合，边长 $\text{[math]}$ 为1个单位长度，将正方形 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形 $\text{[math]}$ 的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围．

综合题困难

3. 如图①，直线y＝ $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝ $\text{[math]}$ 过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S_△_DBC＝S_△_ABC ，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标.

综合题困难