某班数学课题学校小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完成相应的证明和计算．【初步发现】（1）他们初步研究发现，如图1，在矩形中，时，如果交于点交于点，那么______（填“”、“”或“”）．【深入探究】（2）如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点．求证：．【尝试应用】（3）如图3，在矩形中，在满足上面（1）中的条件下，点分别在边上，，若，求的值．【联系拓展】（4）如图4，若，直接写出的值．

1. 如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB＝4，AD＝6．求点A到直线DE的距离．

解答题容易

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点G，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点H，则线段 $\text{[math]}$ 的长度是．

填空题容易

3. 已知：如图， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的对角线，若 $\text{[math]}$ ，求：矩形 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题容易

1. [教材呈现]下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时．所截得的线段存在一定的比例关系： $\text{[math]}$ ．这就是如下的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(简称“平行线分线段成比例")

(1) [问题原型]如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F点P、(分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．

求证：PM=QM．

(2) [结论应用]如图②，在[问题原型]的基础上，点R在边BC上(不与点Q重合)，连结PR交EF于点N．

①若MN=4．则线段QR的长为▲.

①当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若AB=6 ，BC=8，连结CM，则△QMC周长的最小值为▲.

实践探究题普通

2. 综合与探究

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P，Q分别从点A，C处同时出发，点P以 $\text{[math]}$ 的速度从点A移动到点B，点Q以 $\text{[math]}$ 的速度从点C向点D移动，点Q随点P的停止而停止移动，设移动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ？

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(3) 当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，直接写出t的值．

实践探究题困难

3. 综合与实践：

在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．

【问题发现】（1）如图 1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边的中点，E 为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 A、C 的对应点分别为点 G、H，点 G 与点 H 重合，则 $\text{[math]}$ ____°， $\text{[math]}$ _____；

【类比探究】

（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边的中点，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点A、C的对应点分别为点G、H，且D、H、G 三点共线，求 $\text{[math]}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边上的三等分点，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，点G与点H重合，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点P，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．