如图，等边的边长为4，点为边的中点，动点在边上运动，当点不与点、重合时，过点作，交边于点，以、为边作．

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1. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动，当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧，且 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分是轴对称多边形时，求线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围；

(3) 作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

①当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

②当线段 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分图形的面积比为 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等边三角形的性质; 平行四边形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一动点，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、点Q在 $\text{[math]}$ 同侧），设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 内部时，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示，不要求写 $\text{[math]}$ 的取值范围）；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积 $\text{[math]}$ 的值

(3) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 外部时，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

解答题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D．

(1) 求点A和点B的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，对于该抛物线上任意一点 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ 成立，求n的取值范围．

解答题困难

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速向点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速向点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ；过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段 $\text{[math]}$ 也停止运动，连接 $\text{[math]}$ ．解答下列问题：

(1) 当t为何值时，点Q在 $\text{[math]}$ 的平分线上．

(2) 设五边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求y与t之间的函数关系式．

(3) 是否存在某一时刻，使得点C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难