如图①，正方形中，点，是边，上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点．

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1. 如图①，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（不与正方形顶点重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数图象如图②所示，图象经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

坐标与图形性质; 三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线 $\text{[math]}$ 的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．

(1) 连接 $\text{[math]}$ ，当点P在线段 $\text{[math]}$ 上运动，且满足 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积S关于t的函数表达式；

(3) 点P在运动过程中，是否存在某个位置使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

解答题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，如果在图形 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可以重合）使得 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 的一对平衡点．

(1) 如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①设点 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 上一点的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是　　，最大值是　　；

②在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个点中，与点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的一对平衡点的是　　；

(2) 如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于 $\text{[math]}$ 轴，对角线的交点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 在第一象限，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是正方形的一对平衡点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 $\text{[math]}$ ．若线段 $\text{[math]}$ 上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 个单位每秒的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，返回到点 $\text{[math]}$ 时运动停止，连结 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难