在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，如果在图形 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可以重合）使得 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 的一对平衡点．

(1) 如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①设点 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 上一点的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是　　，最大值是　　；

②在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个点中，与点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的一对平衡点的是　　；

(2) 如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于 $\text{[math]}$ 轴，对角线的交点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 在第一象限，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是正方形的一对平衡点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 $\text{[math]}$ ．若线段 $\text{[math]}$ 上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 正方形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b²﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B^'对应，连接点C $\text{[math]}$ 交x轴于点D．

（1）求点A、C的坐标；

（2）求OD的长；

（3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值．

解答题困难

2. 如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为　　　　　　；

（2）图中格点△ABC的面积为　　　　　　；

（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．

解答题普通

3. 四边形 $\text{[math]}$ 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点B落在 $\text{[math]}$ 边上的点D处．

(1) $\text{[math]}$ 的大小=______（度）；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用含k的代数式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______．

(3) 在（2）的条件下，已知折痕 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，求点E的坐标．

解答题普通