如图，在坐标系中的，点、在轴上，点在轴上，且，，，是的中点．

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1. 如图 $\text{[math]}$ ，在坐标系中的 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点都在 $\text{[math]}$ 的边上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 向右平移，设矩形移动的距离为 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出平移距离 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在（2）的条件下，在矩形 $\text{[math]}$ 平移过程中，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时停止平移，再将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，当点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时，此时矩形记作 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴作垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，请计算 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 解直角三角形; 三角形的中位线定理;

【答案】

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计算题困难

1. 课本再现：

（1）如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上不与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 重合的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．

如图1，连接 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和是矩形面积的 $\text{[math]}$ ，可求出 $\text{[math]}$ 的值，请你写出求解过程；

知识应用：

（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 恰好与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处．点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长；

（3）如图3，当点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 外一点时，过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的垂线、垂足分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．