在矩形中，，，点P在折线上，以为边向下作等边三角形，射线交线段于点Q，连接．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在折线 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 为边向下作等边三角形 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点Q与点B重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为__________；

(2) 当点M落在边 $\text{[math]}$ 上时，求等边三角形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 当P在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 当点Q将线段 $\text{[math]}$ 分成两部分线段长度比为 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等边三角形的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1，从第一象限内一点 $\text{[math]}$ 向坐标轴作垂线得到矩形 $\text{[math]}$ ，在矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上取一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 边中点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度向从点原点向终点 $\text{[math]}$ 移动，运动时间为 $\text{[math]}$

(1) 求当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时 $\text{[math]}$ 的值；

(2) ①点 $\text{[math]}$ 坐标为；（用 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

②用 $\text{[math]}$ 的代数式表示点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 移动的同时，矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 也以 $\text{[math]}$ 个单位每秒的速度向右平行移动，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一动点，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、点Q在 $\text{[math]}$ 同侧），设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 内部时，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示，不要求写 $\text{[math]}$ 的取值范围）；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积 $\text{[math]}$ 的值

(3) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 外部时，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D．

(1) 求点A和点B的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，对于该抛物线上任意一点 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ 成立，求n的取值范围．

解答题困难