如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在射线CB上运动（可与点C重合），DE的中点为G，将EG绕点E顺时针旋转90°得到EF，再以ED，EF为一组邻边作矩形DEFH．

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1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在射线CB上运动（可与点C重合），DE的中点为G，将EG绕点E顺时针旋转90°得到EF，再以ED，EF为一组邻边作矩形DEFH．

(1) 当点E为BC的中点时，点F到直线BC的距离为______；

(2) 当点F落在矩形ABCD的边（或边所在的直线）上时，求CE的长；

(3) 点E在线段BC（可与点B，C重合）上运动时，直接写出线段CF的最小值．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．

游戏1 折出对角线 $\text{[math]}$ ，将点A沿过点B的直线翻折到 $\text{[math]}$ 上，折痕BE交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E．展开后如图2所示．

（1）若E恰好为 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

游戏2 在游戏1的基础上，将 $\text{[math]}$ 翻折至与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，展开后将点A沿过点E的直线翻折到 $\text{[math]}$ 上的点G处，展开后如图3所示．

（2）在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

游戏3 在游戏1的基础上，将 $\text{[math]}$ 翻折至与先 $\text{[math]}$ 重合，展开后得到新折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，如图4所示，Q是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

（3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 到点M，使得 $\text{[math]}$ ，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设运动时间为t秒．连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ (点F在 $\text{[math]}$ 右侧)，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 当t=________时，点F恰好落在矩形 $\text{[math]}$ 的边上．

(2) 在点P运动过程中，点F到直线 $\text{[math]}$ 的距离是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由．

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，作点E关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在矩形 $\text{[math]}$ 的边上时，求t的值．

(4) 连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出在点P运动过程中 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． G为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，沿 $\text{[math]}$ 翻折 $\text{[math]}$ ，点A落在点F处．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，且点G与点D重合时， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．

①求 $\text{[math]}$ 的长；

②若点M在射线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 边上存在两个不同位置的点G，使得 $\text{[math]}$ ，则t的取值范围是　．

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