如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图，

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1. 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的两点，点 $\text{[math]}$ 是直径 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“相望角”，如图，

(1) 如图2，若弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“相望角”；

(2) 如图3，若直径 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“相望角”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

等腰三角形的性质; 垂径定理; 圆周角定理;

【答案】

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综合题普通

1. 在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.

(1) 在图1中作弦EF，使EF∥BC；

(2) 在图2中作出圆心O.

综合题普通

2. 如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.

求证：

(1) ∠AOE＝∠BOD；

(2) $\text{[math]}$ .

综合题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弧AC上的动点，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相等吗？为什么？

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在什么位置时， $\text{[math]}$ ？证明你的结论.

综合题普通