在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）经过点．抛物线的顶点坐标为点A，点P关于抛物线对称轴的对称点为点B，点Q为抛物线上一点．其横坐标为m．将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．

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1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （a为常数）经过点 $\text{[math]}$ ．抛物线的顶点坐标为点A，点P关于抛物线对称轴的对称点为点B，点Q为抛物线上一点．其横坐标为m．将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 记图象G的最高点与最低点到x轴的距离和为h，当h随m增大而减小时，求m的取值范围．

(4) 若点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，取线段 $\text{[math]}$ 的中点C．将点C绕点P顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到点N，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边构造矩形 $\text{[math]}$ ，当点Q在点B右侧时，直接写出图像G与矩形 $\text{[math]}$ 有两个交点时m的取值范围．

【考点】

矩形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．

解答题普通

2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是多少？（结果保留π）．

解答题普通

3. 某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：

新定义：把长方形 $\text{[math]}$ 绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图1，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线，

(1) 如图1，把长方形 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针作“对角旋转”，使边 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，此时点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 度数为 $\text{[math]}$ ，请直接写出“对角旋转角”的度数；（用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(2) 在（1）的条件下，如 $\text{[math]}$ ，那么把长方形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针作“对角旋转”，使边 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为312， $\text{[math]}$ 面积为130，请直接写出此时长方形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题困难