将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点．

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1. 将边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 与边长为5的正方形 $\text{[math]}$ 按图1位置放置， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一条直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一条直线上．将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转一周，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等及其性质; 正方形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 在已知线段AB的同侧构造∠FAB＝∠GBA，并且在射线AF，BG上分别取点D和E，在线段AB上取点C，连结DC和EC．

Ⅰ、如图，若AD＝3，BE＝1，△ADC≌△BCE．在∠FAB＝∠GBA＝60º或∠FAB＝∠GBA＝90º两种情况中任选一种，解决以下问题：

①线段AB的长度是否发生变化，直接写出长度或变化范围；

②∠DCE的度数是否发生变化，直接写出度数或变化范围．

Ⅱ、若AD＝a，BE＝b，∠FAB＝∠GBA＝α，且△ADC和△BCE这两个三角形全等，请求出：

①线段AB的长度或取值范围，并说明理由；

②∠DCE的度数或取值范围，并说明理由．

解答题普通

2. 如图，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴、交反比例的数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为顶点， $\text{[math]}$ 为直角边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 恰好落在反比例函数图象上．

（1）求反比例函数 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以 $\text{[math]}$ 为对角线的正方形 $\text{[math]}$ 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 $\text{[math]}$ 为它的内接正方形．

(1) 当抛物线 $\text{[math]}$ 是“美丽抛物线”时，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 当抛物线 $\text{[math]}$ 是“美丽抛物线”时，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 若抛物线 $\text{[math]}$ 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．

解答题普通