如图，在矩形中，，．点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动．当点P不与点B、点C重合时，过点P作，交边或于点Q，以为边作矩形，与在的同侧，且．设点P的运动时间为t秒（）．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向终点C运动．当点P不与点B、点C重合时，过点P作 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的同侧，且 $\text{[math]}$ ．设点P的运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当点M、点N均在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，求t的取值范围．

(4) 点P在边 $\text{[math]}$ 上时连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出t的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 【知识技能】

（1）如图1，在三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后，点B落在点E处，如果 $\text{[math]}$ ，那么线段 $\text{[math]}$ 的长为多少？

【数学理解】

（2）如图2矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点：且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 相交于点F，则 $\text{[math]}$ 的值为：

【拓展探索】

（3）如图3，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，当点A的对应点F刚好落在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 【问题探究】

（1）如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为边 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为______．

（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于M，求 $\text{[math]}$ 的长．

【问题解决】

（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地 $\text{[math]}$ 改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，在公园的 $\text{[math]}$ 边上有一个出口 $\text{[math]}$ ，经测量 $\text{[math]}$ ，为了方便市民，现计划在公园的 $\text{[math]}$ 边和 $\text{[math]}$ 边上分别建一个休息亭 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，然后铺设观景道 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，若要使这三条观景道的距离和最小（即 $\text{[math]}$ 最小），请求出休息亭 $\text{[math]}$ 距离点 $\text{[math]}$ 多远？并求出 $\text{[math]}$ 的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）