【知识技能】（1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？【数学理解】（2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为：【拓展探索】（3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．

1. 【知识技能】

（1）如图1，在三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后，点B落在点E处，如果 $\text{[math]}$ ，那么线段 $\text{[math]}$ 的长为多少？

【数学理解】

（2）如图2矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点：且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 相交于点F，则 $\text{[math]}$ 的值为：

【拓展探索】

（3）如图3，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，当点A的对应点F刚好落在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝ $\text{[math]}$ ，求DE的长.

解答题容易

2. 如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于E，求证：BE=BD．

证明题容易

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，已知 $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积是．

填空题容易

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向终点C运动．当点P不与点B、点C重合时，过点P作 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的同侧，且 $\text{[math]}$ ．设点P的运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当点M、点N均在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，求t的取值范围．

(4) 点P在边 $\text{[math]}$ 上时连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出t的值．

解答题困难

2. 【问题探究】

（1）如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为边 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为______．

（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于M，求 $\text{[math]}$ 的长．

【问题解决】

（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地 $\text{[math]}$ 改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，在公园的 $\text{[math]}$ 边上有一个出口 $\text{[math]}$ ，经测量 $\text{[math]}$ ，为了方便市民，现计划在公园的 $\text{[math]}$ 边和 $\text{[math]}$ 边上分别建一个休息亭 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，然后铺设观景道 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，若要使这三条观景道的距离和最小（即 $\text{[math]}$ 最小），请求出休息亭 $\text{[math]}$ 距离点 $\text{[math]}$ 多远？并求出 $\text{[math]}$ 的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）

解答题困难

3. 如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ____；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图（2），点E是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则：① $\text{[math]}$ =_____；

②如图（3）分别以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 边上一动点．把 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，当点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在矩形的对称轴上时， $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，得到 $\text{[math]}$ ， G为 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，当点 $\text{[math]}$ 恰好在矩形 $\text{[math]}$ 的对角线上时，线段 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题困难

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 边上一点，点F在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点G， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点H，M，N．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题普通

1. 如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ____；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图（2），点E是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则：① $\text{[math]}$ =_____；

②如图（3）分别以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 已知矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 做匀速运动．点 $\text{[math]}$ 运动的同时，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 内，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

$\text{[math]}$ 【延伸】若点 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 点后继续匀速沿 $\text{[math]}$ 运动，直至到达点 $\text{[math]}$ 停止，设点 $\text{[math]}$ 的速度为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 运动的整个过程中，求出 $\text{[math]}$ 能覆盖点K的时长（含边界）．