如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的延长线上一点D，作 $\text{[math]}$ ，垂足为E，交边 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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解答题普通

1. 给出如下定义：线段 $\text{[math]}$ 上有两个点M和点N，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边的三角形是直角三角形则称点M，点N为线段 $\text{[math]}$ 的勾股点，

(1) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M，点N为 $\text{[math]}$ 的勾股点，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，点M，点N为等腰 $\text{[math]}$ 斜边 $\text{[math]}$ 的勾股点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 如图3，在（2）的基础上，过点A垂直于 $\text{[math]}$ 的直线与过点B垂直于 $\text{[math]}$ 的直线相交于点D，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点F和点E，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发沿射线 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向右运动．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为t，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 秒时，求 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求所有符合条件的 $\text{[math]}$ 值；

(3) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点E，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，直接写出当 $\text{[math]}$ 为何值时，能使 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过CA的延长线上一点D ，作 $\text{[math]}$ ，垂足为E ，交边AB于点F ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为AB的中点，求EF和DF的长．

解答题普通