如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且．

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1. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形，2块是边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形，5块长是 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的相同的小长方形，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 观察图形，根据图中的面积关系写出一个关于a、b的多项式的因式分解：______；

(2) 若图中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，大长方形纸板的周长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

①求图中空白部分的面积；

②求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

多项式乘多项式; 完全平方公式的几何背景;

【答案】

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解答题普通

1. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1) 观察图2，请你写出下列三个代数式： $\text{[math]}$ 之间的等量关系：__________．

(2) 若要拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形，则需要A号卡片__________张，B号卡片__________张，C号卡片__________张；

(3) 根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题：已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 两个正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 如图3摆放，边长分别为x，y．若 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分面积的和为__________．

解答题普通

2. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，有足够多的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三种纸片： $\text{[math]}$ 种是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 种是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 种是宽为 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ 的长方形 $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 种纸片 $\text{[math]}$ 张， $\text{[math]}$ 种纸片 $\text{[math]}$ 张， $\text{[math]}$ 种纸片 $\text{[math]}$ 张可以拼出 $\text{[math]}$ 不重不漏 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 所示的正方形 $\text{[math]}$ 根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法 $\text{[math]}$ ，反过来也可以解释多项式 $\text{[math]}$ ，因式分解的结果为 $\text{[math]}$ ，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：

(1) 若多项式 $\text{[math]}$ 表示分别由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 张 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三种纸片拼出如图 $\text{[math]}$ 所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解；

(2) 我们可以借助图 $\text{[math]}$ 再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由 $\text{[math]}$ 张 $\text{[math]}$ 种纸片， $\text{[math]}$ 张 $\text{[math]}$ 种纸片， $\text{[math]}$ 张 $\text{[math]}$ 种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式，据此可得到该多项式因式分解的结果为．

解答题困难

3. 阅读下面问题：你能化简 $\text{[math]}$ 吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．

(1) 先填空：① $\text{[math]}$ __________．

② $\text{[math]}$ _________；

③ $\text{[math]}$ _________．

④由此猜想 $\text{[math]}$ _________．

(2) 利用得出的结论计算： $\text{[math]}$

解答题普通