图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

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1. 图①、图②、图③均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1) 在图①中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

(2) 在图②中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

(3) 在图③中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，边BC上确定一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的周长最小．

【考点】

平行线的性质; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 正方形的性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，已知A(1，0)，B(0，3)，M为边BC的中点。

(1) 求点C的坐标；

(2) 设点M的坐标为(a，b)，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 探究：在x轴上是否存在点P，使以O、P、M为顶点的三角形与△OBM相似？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请简述理由。

综合题普通

2. 已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB ， DC（或它们的延长线）于点M ， N ．

(1) 当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：BM+DN＝MN；

(2) 当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM ， DN和MN之间数量关系是；

(3) 当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM ， DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

综合题困难

3. 如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF ，

(1) 猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．

(2) 连接EF ，若∠BED=120°，求∠EFD的度数．

综合题普通