如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 的位置．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的最小值．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 【问题呈现】

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，经过推理使问题得到解决，请回答：

(1) $\text{[math]}$ 的形状是， $\text{[math]}$ 的形状是；

(2) 直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是；

【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．

(3) 如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的最大距离．

解答题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， B为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C旋转到 $\text{[math]}$ 的位置．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的最小值．

解答题普通

3. 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，点B，C的对应点分别为N，M．

(1) 如图1，当点N落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，猜想线段 $\text{[math]}$ ，并证明你的猜想；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，点R为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由

解答题困难