如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿着折线段以每秒5个单位速度向终点C运动，点Q在边的高上，且，将线段绕着点Q顺时针旋转，得到线段，连接，设点P的运动时间为t秒（）．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿着折线段 $\text{[math]}$ 以每秒5个单位速度向终点C运动，点Q在 $\text{[math]}$ 边的高 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕着点Q顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ _______；

(2) 用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 求点P在运动的过程中，与A、B、D三个点中两点距离相等时t的值；

(4) 当点M在 $\text{[math]}$ 的内部时，直接写出t的取值范围．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的静态美和动态美，掌握运动中的不变量和应变量，体会数学实践活动带给我们的乐趣．

一般情形下，我们常说旋转与翻折是伴随的．

(1) 其实翻折可以近似看作是旋转的一种，请简要描述理由：

_______________________________________________________________________．

(2) 如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E、F、G分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， H为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点B旋转，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的位置和长度也随之变化．当 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 时，请解决下列问题：

$\text{[math]}$ 图②中， $\text{[math]}$ ，此时点E落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，点F落在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想从特殊到一般，也是数学几何思考的重要方法：

$\text{[math]}$ 图③中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(3) 在 $\text{[math]}$ 的条件下，连接图③中矩形的对角线 $\text{[math]}$ ，并沿对角线 $\text{[math]}$ 剪开，得 $\text{[math]}$ （如图④)．点M、N分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点C的对应点P落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．延长 $\text{[math]}$ 到D，使 $\text{[math]}$ ，过D做 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于E．

(1) 小明发现，不但存在 $\text{[math]}$ ，而且还能够得出： $\text{[math]}$ 的长为________， $\text{[math]}$ 的长为________；

(2) 将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图2位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题困难

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点顺时针旋转到图2的位置．求图2中 $\text{[math]}$ 的比值．

解答题普通