有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形

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1. 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形

(1) 如图1，在半对角四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的度数之和；

(2) 如图2，锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，若边 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是半对角四边形；

(3) 如图3，在（2）的条件下，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的直径．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 圆内接四边形的性质; 圆与三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，AB ， AC是⊙O的两条弦，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：AO平分∠BAC；

(2) 若AB＝4 $\text{[math]}$ ，BC＝8，求半径OA的长．

综合题普通

2. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M ， OF、AB的延长线交于点N ，连接MN ．

(1) 求证：OM＝ON；

(2) 若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM ，求MN的长．

综合题普通

3. 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．

(1) 如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2) 如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

综合题普通