小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．【提出问题】如图所示．球员带球沿直线奔向球门，探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．【分析问题】因为线段长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．如图1，射线与相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接．【解决问题】

1. 小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．

【提出问题】如图所示．球员带球沿直线 $\text{[math]}$ 奔向球门 $\text{[math]}$ ，

探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．

【分析问题】因为线段 $\text{[math]}$ 长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．

如图1，射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接 $\text{[math]}$ ．

【解决问题】

(1) 如图1，比较 $\text{[math]}$ 的大小：________（用“<”连接起来）．

(2) 如图2，点A是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（点A不与点B重合）．证明：当 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 相切时， $\text{[math]}$ 最大．

(3) 【延伸拓展】在（2）的条件下，如果 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 最大时．证明： $\text{[math]}$ ．

【考点】

三角形的外角性质; 垂径定理; 圆周角定理; 切线的性质; 解直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

1. 联想与思考

【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径有怎样的关系呢？

【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：

（1）如图2，设锐角 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，同学们得出猜想： $\text{[math]}$ ．

在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与 $\text{[math]}$ 有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：

连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（2）请你根据上述启发，结合图3，证明： $\text{[math]}$ ．

【解决问题】

（3）结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径 $\text{[math]}$ 之间的关系（用含有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ），并说明理由．

实践探究题困难

2. 郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：

【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数，并量出 $\text{[math]}$ 的距离，即可解决问题：

【数据收集】 $\text{[math]}$ 米，测角仪 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的高度为1.5米；

【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面 $\text{[math]}$ 的距离．（结果保留整数．参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

实践探究题普通