联想与思考【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角中，、、的对边分别是、、，设的内切圆半径为，的面积为，则．小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积与它的外接圆半径有怎样的关系呢？【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：（1）如图2，设锐角的外接圆半径为，同学们得出猜想：．在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：连接并延长交于点，连接______，______.______ （2）请你根据上述启发，结合图3，证明：．【解决问题】（3）结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积与它的外接圆半径之间的关系（用含有、、和的式子表示），并说明理由．

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1. 联想与思考

【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径有怎样的关系呢？

【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：

（1）如图2，设锐角 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，同学们得出猜想： $\text{[math]}$ ．

在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与 $\text{[math]}$ 有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：

连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（2）请你根据上述启发，结合图3，证明： $\text{[math]}$ ．

【解决问题】

（3）结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径 $\text{[math]}$ 之间的关系（用含有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ），并说明理由．

【考点】

圆周角定理; 解直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点P在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是．

填空题容易

2. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为度．

填空题容易

3. 如图，点A，B，C在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题容易