如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：

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1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若动点P从A点出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点D运动；动点Q从C点出发以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向B点运动，当Q点到达B点时，动点 $\text{[math]}$ 同时停止运动，设点 $\text{[math]}$ 同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：

(1) $\text{[math]}$ cm；

(2) 当 $\text{[math]}$ 秒时，四边形 $\text{[math]}$ 成为矩形．

(3) 当t为多少时， $\text{[math]}$ ？

(4) 是否存在t，使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 平行四边形的性质; 矩形的判定;

【答案】

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解答题困难

1. （1）如图①， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ______．

（2）如图②， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边在 $\text{[math]}$ 的左侧作等腰直角 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

（3）如图③， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的左侧作 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．动点P以每秒 $\text{[math]}$ 的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求t的值；

(3) 若点P运动到边 $\text{[math]}$ 上，且使得 $\text{[math]}$ ，求t的值．

解答题困难

3. （1）如图1所示，已知直角梯形 $\text{[math]}$ 中，A是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试说明直角三角形 $\text{[math]}$ 的三边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系：

（2）如图2，等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的两个动点，求： $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通