实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：

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1. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A^'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C^'处，点B落在点B^'处，得到折痕EF，B^'C^'交AB于点M，C^'F交DE于点N，再把纸片展平．

问题解决：

(1) 如图1，填空：四边形AEA^'D的形状是；

(2) 如图2，线段MC^'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

(3) 如图2，若AC^'=2cm，DC^'=4cm，求DN︰EN的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 正方形的判定; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

如图①，已知矩形ABCD和点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边BC上任一位置时，易证得结论： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

(1) 探究：当点 $\text{[math]}$ 分别在图②，图③中的位置时，即点 $\text{[math]}$ 分别在矩形ABCD的内部和外部时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（点 $\text{[math]}$ 在矩形ABCD的内部）的结论．

答：对图②的探究结论为；对图③的探究结论为．

(2) 应用：如图④所示， $\text{[math]}$ 是矩形ABCD内一点，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

实践探究题普通

2. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 为线段AB上一点， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 于点C，P为射线CD上一点，连结PA，PB.

(1) 【发现、提出问题】

①当PC=3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

②小亮发现PC取不同值时， $\text{[math]}$ 的值存在一定规律，请猜想该规律： ▲ .

(2) 【分析、解决问题】请证明你的猜想.

(3) 【运用】当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的周长.

实践探究题普通