如图，菱形，点为平面内一点，连接AE．

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1. 如图，菱形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面内一点，连接AE．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在BC的延长线上，将AE绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得AF，交EB延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接EF交AB延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求AE的长；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 在AC的延长线上，将AE绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得AF，连接EF，点 $\text{[math]}$ 为CE的中点，连接BM，FM，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，将AB沿AS翻折得 $\text{[math]}$ ，连DE交AS于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面内一点，当DS取得最大值时，连接TD，TE，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理的应用; 菱形的性质; 旋转的性质; 圆与函数的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在x轴的负半轴上， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 旋转后的对应点为 $\text{[math]}$ ．记旋转角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图②，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 经过点A时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长的取值范围(直接写出结果即可)．

综合题困难

2. 四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 为对角线，在对角线 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转得到线段 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 除外）．

综合题普通

3. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D，

(1) 求证：BE=CF ；

(2) 当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

综合题普通