如图，在中，AB是的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦，交于点C、D ，连接BC ，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E ，交于点G.图1 图2 备用图

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，AB是 $\text{[math]}$ 的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点C、D ，连接BC ，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E ，交 $\text{[math]}$ 于点G.

图1 图2 备用图

(1) 如图1，连接CG ，过点G的直线交DC的延长线于点P.当点M与圆心O重合时，若 $\text{[math]}$ ，求证：PG是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 在点M运动的过程中， $\text{[math]}$ （k为常数），求k的值；

(3) 如图2，连接BG、OF、MF ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的正切值.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 切线的判定; 相似三角形的判定; 求特殊角的三角函数值; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠ADB =∠BDC = $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 交CD延长线于点E．

(1) 求∠ABC的大小；

(2) 证明：AE 是⊙O 的切线．

综合题普通

2. 如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．

(1) 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2) 若⊙O的半径为2，sinB= $\text{[math]}$ ，求CE的长．

综合题普通

3. 如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．

(1) 求证：DE是⊙O的切线；

(2) 若AB=13，BC=10，求CE的长．

综合题普通