（如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P作PC⊥x轴于C ，交直线AB于D ．

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1. （如图，抛物线y＝x²+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P作PC⊥x轴于C ，交直线AB于D ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当m为何值时，S四边形OBDC＝2S△BPD；

(3) 是否存在点P ，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 关于坐标轴对称的点的坐标特征; 相似三角形的判定; 坐标系中的两点距离公式; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．

【探究一】确定心形叶片的形状

（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是叶片上的一对对称点， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求叶片此处的宽度 $\text{[math]}$ ；

【探究三】探究幼苗叶片的长度

（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 为叶尖）与水平线的夹角为 $\text{[math]}$ ，求幼苗叶片的长度 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 如图，已知二次函数y=﹣x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2) 若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

(3) 点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

综合题困难

3. 已知二次函数y₁=x²+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．

(1) 求m，n的值．

(2) 如图，一次函数y₂=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．

(3) 直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

综合题普通