［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．

1. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．

【探究一】确定心形叶片的形状

（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是叶片上的一对对称点， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求叶片此处的宽度 $\text{[math]}$ ；

【探究三】探究幼苗叶片的长度

（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 为叶尖）与水平线的夹角为 $\text{[math]}$ ，求幼苗叶片的长度 $\text{[math]}$ ．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 坐标系中的两点距离公式;

【答案】

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综合题普通

1. 一个二次函数的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．求：这个二次函数的解析式．

解答题容易

2. 已知二次函数的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且其图象经过点 $\text{[math]}$ ，求此二次函数的解析式.

解答题容易

3. 已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，求二次函数的解析式．

解答题容易

x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	﹣4	﹣2	2	8	…

x	…	－2	0	2	3	…
y	…	8	0	0	3	…

$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…
$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…