问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽.

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1. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽 $\text{[math]}$ .

(1) 动手实践：

如图1， $\text{[math]}$ 小组将矩形纸片ABCD折叠，点 $\text{[math]}$ 落在AB边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为AF ，连接EF ，然后将纸片展平，得到四边形AEFD.试判断四边形AEFD的形状，并加以证明.

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ ，再次过点 $\text{[math]}$ 折叠使点 $\text{[math]}$ 落在折痕PQ上的点 $\text{[math]}$ 处，得到折痕AM ，连结MN ，展平后得到四边形ANMD ，请求出四边形ANMD的面积.

(3) 深度探究：

如图3， $\text{[math]}$ 小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD ， EF上取点G ， H ，将四边形AEFD沿GH折叠，使 $\text{[math]}$ 点的对应点 $\text{[math]}$ 始终落在边DF上（点 $\text{[math]}$ 不与点D ， F重合），点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与EF交于点 $\text{[math]}$ .

探究①当 $\text{[math]}$ 在DF上运动时， $\text{[math]}$ 的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值.

探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值.

【考点】

三角形全等的判定; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 直角三角形的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图 $\text{[math]}$ 所示的长方形纸条 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．然后在纸条上任意画一条线段 $\text{[math]}$ ，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．如图 $\text{[math]}$ 所示：

(1) 【基础回顾】在图 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， ∠MKN=°；（直接写出答案）

(2) 【操作探究】改变折痕 $\text{[math]}$ 位置， $\text{[math]}$ 始终是三角形，请说明理由；

(3) 爱动脑筋的小明在研究 $\text{[math]}$ 的面积时，发现 $\text{[math]}$ 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出 $\text{[math]}$ 的面积最小值为 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 的大小可以为；

(4) 【拓展延伸】小明继续动手操作进行折纸，发现了 $\text{[math]}$ 面积存在最大值，请你求出这个最大值．

实践探究题困难